Юрий Герасимович Григорьев родился в Москве 23 июня 1955 года в семье кадрового военного. Его отец, Герасим Афанасьевич, был выдающимся летчиком и Героем Советского Союза. Из-за специфики отцовской службы детство и школьные годы Юры прошли в постоянных переездах — семья успела пожить в Орле и Риге.
Интерес к актерскому ремеслу проснулся у юноши в восьмом классе. В те годы на советском телевидении гремело шоу «Алло, мы ищем таланты!», и в школе решили организовать собственный аналог проекта. Юрий объединился с приятелем в дуэт: на два голоса они читали популярные юморески Лившица и Ливенбука «Субботний день» и «Массовка». Школьный экспромт оказался настолько удачным, что молодых людей стали регулярно приглашать в составе творческих агитбригад выступать перед солдатами в воинских частях.
Главным поворотным моментом юности стало знакомство с Цецилией Львовной Мансуровой — легендарной актрисой Вахтанговской сцены и первой исполнительницей роли Принцессы Турандот. Организовать прослушивание у примы помогла мама Юрия. Мансурова разглядела в юноше большой потенциал и фактически благословила его на поступление в театральный вуз.
Приехав после окончания школы из Риги в столицу, Юрий с первой же попытки стал студентом Высшего театрального училища имени Б. В. Щукина. Ему повезло учиться на курсе у замечательного мастера Юрия Катина-Ярцева.
В 1976 году, сразу после получения диплома, молодой артист присоединился к труппе Центрального детского театра (ныне — Российский академический Молодежный театр / РАМТ), сцене которого остался верен на долгие годы.
В кино Юрий Григорьев дебютировал еще в студенческие годы, снявшись в эпизоде популярного советского детектива «Анискин и Фантомас». Вскоре последовал и первый серьезный успех — главная роль Толика в спортивной драме «Закрытие сезона».
После этого яркого старта режиссеры начали активно задействовать харизматичного актера в своих проектах. Зрители помнят Юрия Герасимовича по фильмам «Призвание», «Узнай меня», «Хлеб, золото, наган», «Линия жизни», «Женатый холостяк», «Спасите наши души».
Особое место в сердцах миллионов зрителей заняла роль профессора Селезнёва (отца Алисы) в культовом фантастическом мини-сериале «Гостья из будущего».
В разные годы он являлся ведущим таких культовых и любимых детских передач, как «Спокойной ночи, малыши!» (где его знали как дядю Юру) и «Шишкин Лес». На детском семейном телеканале «Радость моя» Григорьев также успешно вел познавательные и патриотические циклы передач «Аты-баты» и «Пройти сто дорог».