Юрий Львович Кулаков родился 1 октября 1959 года в Москве. В возрасте двенадцати лет мальчик впервые попал на киностудию «Союзмультфильм». Вдохновившись атмосферой и тонкостями создания мультипликационных картин, он стал посещать курсы рисования для детей при киностудии под руководством Олега Комарова, художника известного мультсериала «Ну, погоди!».
Воскресные курсы функционировали специально для детей работников киностудии, где администрация «Союзмультфильма» обучала их анимации. Несмотря на то, что родители Юрия не имели отношения к студии, у семьи был знакомый режиссер Валентин Александрович Караваев. Впоследствии юноша работал у него прорисовщиком, а затем и мультипликатором.
Получив среднее образование, Юрий устроился на работу художником-прорисовщиком в «Союзмультфильм». Он с увлечением занимался созданием чистовых компоновок на основе изображений художников-аниматоров. Молодой человек учился решать сложные задачи, придавая героям максимальную схожесть с образом, разработанным художником по персонажам, не нарушая при этом анимации. Спустя пару лет работы прорисовщиком Юрий понял, что мультипликация привлекает его гораздо сильнее.
С 1984 года Кулаков начал пробовать себя в режиссуре, а в 1986 году успешно окончил двухгодичные курсы художников-мультипликаторов, где преподавали Владимир Израилевич Пекарь и Виолетта Павловна Колесникова. Все выпускники этого курса постигали азы мультипликата и имели хотя бы единичный опыт его изготовления, но Юрию в этом плане повезло больше, поскольку он уже работал на студии ранее и владел практическими навыками.
Юрий Кулаков принял участие в создании более тридцати картин, работая со знаменитыми режиссерами, среди которых Владимир Тарасов, Валерий Угаров, Владимир Попов, Валентин Караваев, Александр Горленко, Елена Пророкова и Николай Серебряков. С 1992 по 1994 год в составе студии «Christmas Films» совместно с британскими коллегами он в качестве режиссера и художника-аниматора участвовал в создании проекта «Shakespeare: The Animated Tales» (серии «Макбет» и «Юлий Цезарь»).
В 1996 году он как режиссер выпустил мультфильм «Сотворение мира». Через два года по заказу BBC Юрий Львович создал фильм «Беовульф: Анимированный эпос». В 2000 году, вновь по заказу BBC, он режиссирует картину «Подна и Подни» из цикла «Сказки народов мира». Эта работа получила Гран-при и Первый приз фестиваля «Золотая рыбка», первый приз Всероссийского фестиваля визуальных искусств в «Орленке» и звание «Лучший детский фильм» на IV Международном фестивале анимационного кино «Анимаевка-2001».
В 2006 году в прокат вышел полнометражный мультфильм «Князь Владимир», над которым Юрий Кулаков работал на протяжении семи лет в качестве режиссера и сценариста. Картина стала одним из самых востребованных отечественных детских мультфильмов. Она была создана студией «Солнечный Дом-ДМ» при поддержке «Первого канала» и Федерального агентства по культуре и кинематографии РФ. В том же году за художественное воплощение исторической темы на экране Кулаков был удостоен Гран-при на VIII Международном кинофестивале «Сказка» в Москве.
Параллельно Юрий Львович продолжал работать художником-мультипликатором в десятках известных картин, среди которых «Юбилей», «Контракт», «Три новеллы», «Переменка № 5. Не поделили», «Му-Му», «Прямое попадание», «Кому повем печаль мою?», «Перевал», «Притча об артисте. Лицедей», «Сапожник и русалка», «В поисках Олуэн», «Мико — сын Павловой», «Веселая карусель № 23», «Чудаки. Дошел», новые выпуски «Ну, погоди!», «Мальчик-пастух Тумур», «Бабка ежка и другие» и «Икра».
В 2017 году имя Юрия Кулакова вновь попало в новостные ленты в связи с выходом новой масштабной работы. В соавторстве с Юрием Рязановым в широкий кинопрокат вышла анимационная лента «Сказ о Петре и Февронии». Фильм повествует об истории любви князя Петра Муромского и целительницы Февронии, основанной на православных преданиях, а его премьера была приурочена к празднованию Дня семьи, любви и верности.
